Area del Pene!

Immaginando di sviluppare un pene su un piano, con “area del pene” ci si riferisce all’area occupata dallo sviluppo del pene sul piano.

Supponiamo di sviluppare un pene eretto così da evitare che la varietà che rappresenta la superficie si presenti ritorta su se stessa o che si verifichino altri problemi di natura topologica [sotto questa ipotesi si ha davvero lo sviluppo di una SUPERFICIE].

Dal punto di vita matematico cos’è un pene? Possiamo supporre che sia un sottoinsieme Ω ⊂ IR³ ovvero un solido.

Come possiamo descrivere questo il solido Ω del quale vogliamo calcolarne l'area superficiale? Data la forma particolarmente bizzarra che purtroppo [o per fortuna] NON È riconducibile a nessuna funzione elementare nota bisognerà ricorrere a una o più funzioni che ne approssimino la forma.

A livello applicativo dopo aver eseguito delle misure si cerca di determinare “l'equazione del pene”, ovvero facendo ricordo ai metodi forniti dalla teoria delle funzioni si cerca di trovare una funzione o un'equazione che meglio approssimi i valori ottenuti dalle misure.

Possiamo ipotizzare che il pene abbia una forma cilindrica uniforme, almeno per quanto riguarda il tronco. Sotto questa ipotesi, intersecando il cilindro che costituisce il tronco con un piano otterremo una circonferenza di raggio R. Una migliore approssimazione può essere ottenuta considerando un cilindro avente direttrice ellittica anziché circolare [l'eccentricità potrà essere più o meno accentuata].


Diamo ora alcune definizioni che ci saranno utili più avanti


DEFINIZIONE 1

Definiamo la lunghezza totale ℓ del pene la seguente grandezza

ℓ := ℓ₁ + ℓ₂

ove

ℓ₁ è la lunghezza del pene misurato dalla base inferiore fino alla base del glande
ℓ₂ è la lunghezza del glande


DEFINIZIONE 2

Definiamo il pene in questo modo

Ω := Ω₁ U Ω₂

ove

Ω₁ := {(x,y,z) ∈ IR³ : x² + y² = R², 0 ≤ z ≤ ℓ₁} è il tronco del pene [R è il raggio della circonferenza descritta precedentemente]

Ω₂ := {(x,y,z) ∈ IR³ : ...} è il glande


Ho lasciato dei puntini di sospensione perché descrivere il glande dal punto di vista matematico è un vero PROBLEMA.

Come ho già anticipato precedentemente, è necessario infatti trovare l’equazione di una superficie o di una funzione che ne approssimi la forma.

La prima funzione che mi viene in mente è la Campana di Gauss descritta dalla funzione d'equazione

ƒ(x,y) := exp(– y² – x²)

http://img147.imageshack.us/img147/9158/…

oppure anche il paraboloide d'equazione

ƒ(x,y) := ℓ₂ – y² – x²

http://img147.imageshack.us/img147/7274/…


Se usiamo questa seconda funzione per APPROSSIMARE il glande avremo

Ω₂ := {(x,y,z) ∈ IR³ : ℓ₁ ≤ z ≤ ℓ₂ – y² – x² }


Adesso non ci resta che fare un po’ di sano artigianato.

Per quanto riguarda l'area superficiale del tronco avremo

A_Ω₁ := 2πRℓ₁



Calcoliamo ora l'area della superficie del glande calcolando l'area della superficie sottesa al paraboloide

ƒ(x,y) := ℓ₂ – y² – x²

Per farlo useremo una formula che rappresenta l'analogo in DUE variabili del calcoalo la lunghezza di una curva sottesa ad una funzione di UNA variabile.

In una variabile la lunghezza di una curva sottesa ad una funzione ƒ(x) è data dalla seguente relazione:

L := INTEGRALE tra α & β √(1 + ƒ'(x)) dx

ove α & β sono gli estremi della curva


In due variabili l'area della superficie sottesa ad una funzione è ƒ(x,y) data dalla seguente relazione:

A := INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + [∂/∂x [ƒ(x,y)]]² + [∂/∂y [ƒ(x,y)]]²) } dxdy

ove T è l'insieme delimitato dal bordo della superficie.


Nel nostro caso avremo

T := {(x,y) ∈ IR² : x² + y² ≤ ℓ₂ }

ƒ(x,y) := ℓ₂ – y² – x²

∂/∂x [ƒ (x,y)] = ∂/∂x [ ℓ₂ – y² – x² ] = - 2x

∂/∂y [ƒ (x,y)] = ∂/∂y [ ℓ₂ – y² – x² ] = - 2y


e pertanto

A_Ω₂ := INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + [∂/∂x [ƒ(x,y)]]² + [∂/∂y [ƒ(x,y)]]²) } dxdy =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + (-2x)² + (-2y)²) } dxdy =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4x² + 4y²) } dxdy =



A questo punto conviene passare alle coordinate polari per semplificare i calcoli

{x := ϱcos(ϑ)
{y := ϱsen(ϑ)

T := {(ϱ,ϑ) ∈ IR² : 0 ≤ ϱ ≤ √(ℓ₂) , 0 ≤ ϑ ≤ 2π }


Ricordando che applicando il generico cambio di coordinate

{x := φ(u,v)
{y := ψ(u,v)

si definisce "jacobiano della trasformazione" la seguente qualità

J := | . . . ∂/∂u [φ(u,v)] . . ∂/∂v [φ(u,v)] . . . |
. . . .| . . . ∂/∂u [ψ(u,v)] . . ∂/∂v [ψ(u,v)] . . .|

e ricordando che applicando il cambio di coordinate di cui sopra vale la seguente relazione

INTEGRALE DOPPIO su T ƒ(x,y) dxdy =

= INTEGRALE DOPPIO su T ƒ( φ(ϱ,ϑ), ψ(ϱ,ϑ)) * det |J| dϱdϑ


nel nostro caso avremo

{x = φ(ϱ,ϑ) = ϱcos(ϑ)
{y = ψ(ϱ,ϑ) = ϱsen(ϑ)


∂/∂ϑ [ ϱcos(ϑ) ] = -ϱsen(ϑ)

∂/∂ϱ [ ϱcos(ϑ) ] = cos(ϑ)

∂/∂ϑ [ ϱsen(ϑ) ] = ϱcos(ϑ)

∂/∂ϱ [ ϱsen(ϑ) ] = sen(ϑ)


J := | . . . ∂/∂u [φ(ϱ,ϑ)] . . ∂/∂v [φ(ϱ,ϑ)] . . . |
. . . .| . . . ∂/∂u [ψ(ϱ,ϑ)] . . ∂/∂v [ψ(ϱ,ϑ)] . . .|


J = | . . . ∂/∂ϱ [ ϱcos(ϑ) ] . . ∂/∂ϑ [ ϱcos(ϑ) ] . . |
. . . | . . . ∂/∂ϱ [ ϱsen(ϑ) ] . . ∂/∂ϑ [ ϱsen(ϑ) ] . .|


J = | . . cos(ϑ) . . -ϱsen(ϑ) . .|
. . . | . . sen(ϑ). . .ϱcos(ϑ) . . |


det |J| = ϱcos²(ϑ) + ϱsen²(ϑ) = ϱ[cos²(ϑ) + sen²(ϑ)] = ϱ




e pertanto


= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4x² + 4y²) } dxdy =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4(ϱcos(ϑ))² + 4(ϱsen(ϑ))²) } ϱdϱdϑ =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4ϱ²cos²(ϑ) + 4ϱ²sen²(ϑ)) } ϱdϱdϑ =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4ϱ²(cos²(ϑ) + sen²(ϑ))) } ϱdϱdϑ =

= INTEGRALE DOPPIO su T { √(1 + 4ϱ²) } ϱdϱdϑ =

= {INTEGRALE tra 0 & 2π dϑ} * {INTEGRALE tra 0 & √(ℓ₂) { ϱ√(1 + 4ϱ²) } dϱ } =

= {[ϑ]_calcolato tra 0 & 2π} * {(1/12)√((1 + 4ϱ²)³)]_calcolato 0 & √(ℓ₂)} =

= (2π) * (1/12)[√((1 + 4(√(ℓ₂))²)³) - √((1 + 0)³)] =

= (π/6)[√((1 + 4ℓ₂)³) - 1]


Abbiamo quindi scoperto quanto vale l'area superficiale del glande:

A_Ω₂ := (π/6)[√((1 + 4ℓ₂)³) - 1]


L'area totale della superficie del pene sarà dunque data dalla somma dell'area superficiale del tronco e dell'area superficiale del glande

A := A_Ω₁ + A_Ω₂ := 2πRℓ₁ + (π/6)[√((1 + 4ℓ₂)³) - 1]



Questa formula finale che abbiamo appena ricavato ovvero

A := 2πRℓ₁ + (π/6)[√((1 + 4ℓ₂)³) - 1]

è la formula che permette di calcolare l'area di un pene